マルチフィジックスPhase Field法との連携による鉄の水素脆化・亀裂進展解析#

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鉄鋼材料や高強度鋼において、微量な水素の侵入によって予期せぬ低応力で突発的な破壊を引き起こす「水素脆化（水素遅れ破壊）」は、インフラ・輸送機器・エネルギー分野における重大な課題です。この現象を予測するためには、マクロな亀裂の進展だけでなく、材料固有のミクロな水素の溶解・拡散挙動を統合して評価する必要があります。本事例では、第一原理計算ソフトウェア Advance/PHASE を用いて算出された純鉄の「水素溶解エネルギー」を起点とし、マルチフィジックス解析に基づくPhase Field破壊力学モデルに連携させることで、水素の異常集積とそれに伴う亀裂進展（水素誘起デコヒージョン：HEDE機構）をシミュレーションした結果を紹介します。

Keywords: 第一原理計算（DFT）, Phase Field法, 水素脆化 (Hydrogen Embrittlement), マルチスケール解析, 遅れ破壊, MOOSE, HEDE機構

解析モデルと理論背景#

1. マルチスケール連携のアプローチ#

本解析では、「応力場」「水素拡散場」「Phase Field（亀裂場）」の3つの物理現象を強連成させます。図1に示すように、実部材のマクロな応力集中部を想定し、10 mm × 10 mm の2次元片側切欠き引張（SENT）モデル（初期亀裂長さ 2 mm）を対象としました。このモデルに対し、上端に引張変位を与えます。境界条件として、剛体移動を防ぐために底面中央の1点のみをX方向に拘束し、底面全体はY方向のみを固定することで、材料のポアソン収縮を阻害せずに純粋な亀裂先端の応力集中を評価しています。

Advance/PHASEによる第一原理計算（DFT）の結果 [1] は、マクロモデル内の熱力学パラメータとして組み込まれます。なお、これらのマクロスケールにおける連成シミュレーションは、オープンソースの有限要素法フレームワークである MOOSE [2] を用いて実行しました。

初期亀裂モデルの模式図
図1. 2次元片側切欠き引張（SENT）モデルの初期状態。10 mm × 10 mm の領域の左端に長さ 2 mm の初期亀裂（オレンジ色部分）を設定し、引張変位を与えます。

2. 支配方程式とマルチスケール連携の仕組み#

Phase Field法は、亀裂などの不連続な界面を連続的な損傷変数で表現し、メッシュに依存せずに複雑な亀裂進展を再現する手法です。本事例では、以下の3つのモデルを連成させることで、水素脆化現象を表現しています [3-5]。

A. 水素拡散と応力誘起凝集（マクロ〜メソ）#

引張負荷により生じる静水圧応力 $\sigma_h$ の勾配によって、水素が亀裂先端に集まる挙動を計算します。本事例では、MOOSEフレームワーク上に独自のカスタムアプリケーション（App）およびC++カーネルを開発・組み込むことで、系全体の質量保存則を厳密に満たす移流拡散モデルを構築しています。水素のフラックス $\mathbf{J}$ は以下の式で表されます。

$\mathbf{J} = -D_L \nabla C + \frac{D_L C \bar{V}_H}{R T} \nabla \sigma_h$

ここで、 $D_L$ は格子内拡散係数、 $C$ は水素濃度、 $\bar{V}_H$ は水素の部分モル体積、 $R$ は気体定数、 $T$ は絶対温度です。右辺第2項が応力勾配による駆動力（集積効果）を示しています。

B. DFTから導かれる破壊靭性の低下（ミクロ $\rightarrow$ マクロ）#

Advance/PHASEによって計算された「水素の溶解エネルギー $E_\text{sol}$ 」を元に、材料の限界破壊エネルギー（破壊靭性） $G_c$ が局所的な水素被覆率 $\theta$ によってどれだけ低下するかを定義します（HEDE機構）。 $G_c(\theta) = G_{c0} \left( 1 - \chi \theta \right)$

ここで、 $G_{c0}$ は水素がない状態での初期破壊エネルギー、 $\chi$ はDFTから求まるデコヒージョン係数です。局所的な水素被覆率 $\theta$ は、Langmuir-McLeanの吸着等温式を用いて、計算された水素濃度 $C$ とトラップエネルギーから算出されます。

C. Phase Field破壊力学モデル（マクロ）#

亀裂を不連続な面ではなく、連続的な損傷変数 $d$ （0で健常、1で完全破壊）として表現します。系全体の全エネルギー $\Pi$ を最小化するように亀裂が進展します。

$\Pi = \int_{\Omega} \left[ (1-d)^2 \psi_0(\boldsymbol{\varepsilon}) + G_c(\theta) \left( \frac{d^2}{2l} + \frac{l}{2} |\nabla d|^2 \right) \right] dV$

ここで、 $\Omega$ は解析領域、 $\psi_0(\boldsymbol{\varepsilon})$ は弾性ひずみエネルギー、 $l$ は亀裂の幅を決める長さスケールパラメータです。

3. 使用した材料パラメータ#

純鉄（BCC）を対象とし、DFT計算値 [1] および実績のある文献値 [5]を組み合わせて解析を行いました。

表1. 水素脆化シミュレーションに用いた主なパラメータ

カテゴリー	パラメータ	設定値と出典
第一原理計算 (Advance/PHASE)	水素溶解エネルギー ( $E_\text{sol}$ )	0.26 eV/H （四面体サイト）
破壊力学・熱力学 (文献値等)	ポアソン比 ( $\nu$ )	0.3
	デコヒージョン係数 ( $\chi$ )	0.89
	初期限界破壊エネルギー ( $G_{c0}$ )	2.7 MPa mm
	トラップ結合エネルギー ( $\Delta g_b^0$ )	25.1 kJ/mol（ $E_\text{sol}$ より換算）
	水素の部分モル体積 ( $\bar{V}_H$ )	2.0 $\times$ 10^-6 m³/mol

シミュレーション結果と考察#

得られた連成解析のシミュレーション結果は、大規模データの処理に優れたオープンソースの可視化ソフトウェア ParaView [6, 7] を用いて可視化・評価を行いました。

1. 応力誘起による水素の異常集積#

引張荷重の増加に伴い、初期亀裂の前方に静水圧応力が集中します。図2は、亀裂先端に発生した静水圧応力分布を示しています。応力集中部において、局所的に水素を惹きつける強い駆動力が生じていることがわかります。

図2. 亀裂先端における静水圧応力の分布。

図3は、この駆動力に従って、実際に水素が亀裂先端へ拡散・濃縮していく過程を示しています。質量保存則を厳密に満たす移流拡散解析の結果、亀裂先端の前方には顕著な濃縮領域（赤色）が形成されています。さらに、周囲から水素が吸い寄せられた結果として、濃縮部の上下や後方に「枯渇（青色）の領域」が広がっている様子が明確に確認でき、物理的に妥当な水素の拡散・集積挙動が再現されています。

水素濃度の分布図
図3. 実際の水素濃度（ $\text{h}_\text{conc}$ ）の分布推移（左: 負荷初期、右：進行段階）。亀裂先端の応力集中が始まると同時に、応力勾配に従って水素が素早く拡散・集積し、周囲に枯渇領域が生じている様子がわかります。

2. 破壊靭性の低下とシャープな亀裂進展#

図4は、局所的なひずみエネルギーの集中（左図）と、それによって生じた亀裂の進展（右図）を示しています。亀裂先端に集積した水素が局所的な破壊靭性 $G_c$ を著しく低下させるため、通常であれば亀裂が進展しない荷重レベルにおいても、Phase Field変数 $d$ （ダメージ）が完全破壊状態（ $d=1$ 、赤色表示）に達し、鋭利な亀裂となって進展を続ける様子が確認できました。

ひずみエネルギーの集中、Phase Fieldによる亀裂進展
図4. (左) 亀裂先端における弾性ひずみエネルギーの極集中。(右) Phase Field法によってシミュレーションされた、シャープな亀裂進展の様子。

【高度な非線形解析の安定化】

本解析では、亀裂が進展する瞬間の強い非線形性による計算発散を防ぐため、MOOSEフレームワークの強みである Jacobian-Free Newton Krylov (JFNK) 法ソルバーと、適応型タイムステップ制御（Iteration Adaptive DT）を組み合わせて採用しています [4]。これにより、亀裂進展時の極小ステップと、定常時の大ステップを自動で切り替え、安定性と計算速度の両立を実現しています。

まとめ#

本事例では、Advance/PHASEを用いた第一原理計算によるミクロな物理量（水素溶解エネルギー）を、マクロな連続体力学（Phase Field法）の破壊パラメータとしてシームレスに連携させた解析を実施しました。自作Appを用いた厳密なマルチフィジックス解析ワークフローを活用することで、「合金元素の添加が水素の入りやすさにどう影響し、結果として部材の寿命（亀裂進展）がどう変わるか」といった、材料設計（マテリアルズ・インフォマティクス）に直結する予測シミュレーションが可能となります。

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参考文献#

鉄の水素脆化の第一原理シミュレーション：水素溶解エネルギーの解析
D. Gaston, C. Newman, G. Hansen, and D. Lebrun-Grandie, "MOOSE: A parallel computational framework for coupled systems of nonlinear equations", Nucl. Eng. Des. 239, 1768 (2009).
Y.-S. Chen, C. Huang, P.-Y. Liu, H.-W. Yen, R. Niu, P. Burr, K. L. Moore, E. Martínez-Pañeda, A. Atrens, and J. M. Cairney, "Hydrogen trapping and embrittlement in metals - A review," Int. J. Hydrogen Energy 136, 789 (2025).
P. K. Kristensen and E. Martínez-Pañeda, "Phase field fracture modelling using quasi-Newton methods and a new adaptive step scheme", Theor. Appl. Fract. Mech. 107, 102446 (2020).
E. Martínez-Pañeda, A. Golahmar, and C. F. Niordson, "A phase field formulation for hydrogen assisted cracking," Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 342, 742 (2018).
J. Ahrens, B. Geveci, and C. Law, "ParaView: An End-User Tool for Large Data Visualization", The Visualization Handbook, p.717-731, Elsevier (2005).
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