音叉の固有値解析#

ここでは、440Hzを発する音叉の固有値解析を紹介します

キーワード#

音叉, 振動解析, 固有値解析, モード

片持ち梁の固有値解析#

解析対象#

片持ち梁の固有振動数の計算

$f_n = \frac{\lambda^2}{2 \pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}$

名前	説明	単位
$f_n$	$n$ 次モードの固有振動数	$Hz$
$L$	梁の長さ	$m$
$E$	ヤング率	$Pa$
$I$	断面二次モーメント	$m^4$
$\rho$	密度	$kg/m^3$
$A$	断面積	$m^2$
$\lambda_n$	振動モード $n$ に対応する無次元の定数	$NA$
	$\lambda_1 \approx 1.875$ 一次モード	$NA$
	$\lambda_2 \approx 4.684$ 二次モード	$NA$
	$\lambda_3 \approx 7.855$ 三次モード	$NA$

物性#

材質は安価で一般的なS45Cを使うと仮定します。各物性値は

ヤング率 : $E = 206GPa$
密度 : $\rho = 7850kg/m^3$

矩形断面の断面二次モーメント#

梁の幅を $b(m)$ 、厚さを $h(m)$ とすると、

断面積 $(A)$ : $A = b \cdot h$
断面二次モーメント $(I)$ : $I = \dfrac{b \cdot h^3}{12}$

これらを固有振動数の式に代入すると、一次モードの固有振動数 $f_1$ は、

$\begin{align} f_1 &= \frac{{\lambda_1}^2}{2 \pi L^2} \sqrt{\frac{E \cdot (b \cdot h^3/12)}{\rho \cdot (b \cdot h)}} = \frac{{\lambda_1}^2}{2 \pi L^2} \\ f_1 &= \frac{{\lambda_1}^2}{2 \pi L^2} \sqrt{\frac{E}{12 \rho}} \end{align}$

簡略化の為、捻じれは無視しています。

設計計算#

振動数 $f_1 = 440Hz$ 、 $\lambda_1 = 1.875$ として算すると、

例: - 厚さ ( $h$ ) : $2mm = 0.002m$ - 長さ ( $L$ ) : $61.3mm = 0.0613m$ - 幅 ( $b$ ) : $10mm$

CAD形状#

alt text

FrontSTR Msh図#

alt text

解析条件#

項目	値
要素タイプ	4節点四面体一次要素
材質	等方性ヤング率 $E = 2.06GPa$ ポアソン比 $\nu = 0.29$
解析種類	固有値解析
境界条件	一端を固定
ソルバー	直接法

結果#

********************************
*RESULT OF EIGEN VALUE ANALYSIS*
********************************

### TOTAL MASS =   9.6364E+15

   NO.   EIGENVALUE    ANGL.FREQUENCY  FREQUENCY(HZ)  GENERALIZED MASS 
   ---   ----------    -------------- -------------
     1   7.816415E+06   2.795785E+03   4.449630E+02   1.000000E+00
     2   1.848217E+08   1.359491E+04   2.163698E+03   1.000000E+00
     3   3.062092E+08   1.749883E+04   2.785026E+03   1.000000E+00
     4   9.319197E+08   3.052736E+04   4.858580E+03   1.000000E+00
     5   2.395663E+09   4.894551E+04   7.789920E+03   1.000000E+00
     6   5.864455E+09   7.657973E+04   1.218804E+04   1.000000E+00
     7   8.696476E+09   9.325490E+04   1.484198E+04   1.000000E+00
     8   9.219569E+09   9.601859E+04   1.528183E+04   1.000000E+00
     9   1.730629E+10   1.315534E+05   2.093737E+04   1.000000E+00
    10   2.502879E+10   1.582049E+05   2.517909E+04   1.000000E+00

   NO.   Participation factor  
     1  -5.485590E+03  -7.664180E+07  -1.940144E+03
     2  -7.675363E+07  -3.699065E+04  -7.651685E+03
     3   5.973533E+04  -4.263527E+07   1.203570E+04
     4  -7.233886E+04   2.551466E+05  -5.578791E+03
     5   9.218590E+03   2.524598E+07   6.827225E+04
     6   4.373660E+07   1.864708E+04   9.998988E+03
     7   1.337579E+04  -5.141770E+05   7.615982E+04
     8  -4.165549E+04   1.805980E+07  -9.989315E+04
     9  -2.959937E+04   2.962299E+04   8.819942E+07
    10  -2.798666E+04  -1.413160E+07   2.620031E+05

   NO.   EFFECTIVE MASS  
     1   3.009169E+07   5.873965E+15   3.764158E+06
     2   5.891119E+15   1.368308E+09   5.854828E+07
     3   3.568309E+09   1.817767E+15   1.448580E+08
     4   5.232910E+09   6.509979E+10   3.112291E+07
     5   8.498240E+07   6.373597E+14   4.661099E+09
     6   1.912890E+15   3.477136E+08   9.997975E+07
     7   1.789118E+08   2.643780E+11   5.800318E+09
     8   1.735180E+09   3.261565E+14   9.978642E+09
     9   8.761230E+08   8.775215E+08   7.779138E+15
    10   7.832534E+08   1.997020E+14   6.864563E+10
TOTAL:   7.804022E+15   8.855282E+15   7.779227E+15


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    TOTAL TIME (sec) :      4.31
           pre (sec) :      0.00
         solve (sec) :      4.31
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結果変形